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1.2 Distribuzioni di probabilità

Il modo più utile di interpretare i principi fondamentali della meccanica quantistica è quello di assumere che il valore oggettivo ed univoco di una grandezza fisica, quale si postula in meccanica classica, vada sostituito con il concetto di una distribuzione di probabilità per i valori di quella grandezza. Una distribuzione di probabilità è, in sostanza, una funzione matematica che, per ogni valore della variabile, fornisce la probabilità che venga osservato quel valore. Quello che stiamo dunque postulando è che, ripetendo più volte la misura di una grandezza fisica nelle stesse identiche condizioni, non otteniamo in generale sempre lo stesso valore, bensì valori diversi, ciascuno con una sua propria probabilità di venir osservato.1.1 Dunque, siamo condotti a postulare una incertezza di principio sul valore di una grandezza fisica, che prende il posto della univocità oggettiva classica. Questa incertezza non ha a che fare con mancanza o incompletezza di informazione da parte di un osservatore, ma è una proprietà intrinseca dei sistemi quantistici.

In questo senso, il processo di misura non è molto dissimile dal lancio dei dadi. Al lancio di un dado è associata una distribuzione di probabilità per il risultato che è particolarmente semplice: si tratta di una funzione che è diversa da zero solo in sei punti (corrispondenti ai sei ``valori'' delle facce, siano essi numerici o figurati), ed assume in quei punti lo stesso valore pari a $1/6$. Questo è un esempio di una distribuzione di probabilità discreta, cioè diversa da zero solo in un insieme numerabile (non necessariamente finito) di punti. Naturalmente, in generale la probabilità dei diversi risultati non è la stessa, ed un esempio di questo è il lancio di due dadi: poiché un determinato risultato può essere ottenuto in più di un caso (ad es.: $4=2+2=1+3=3+1$, $3=2+1=1+2$), la sua probabilità è pari alla frazione di casi che conducono ad esso.

Figura 1.1: Distribuzione di probabilità per il risultato del lancio di due dadi.
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=dadi.ps,width=0.8\textwidth,angle=-90}\end{center}\end{figure}

Esistono poi distribuzioni di probabilità continue, per le quali è possibile che si osservino valori compresi in un certo intervallo (eventualmente di ampiezza infinita) di numeri reali. Qui le cose si complicano un poco, dal punto di vista matematico. Infatti, data l'infinità non numerabile dei numeri reali in un qualsiasi intervallo, dobbiamo concludere che non ha senso assegnare una probabilità finita a ciascuno di essi: paradossalmente, ogni risultato, per quanto possibile, deve avere probabilità nulla. L'unica probabilità finita che ha senso definire è quella che il risultato cada in un certo intervallo finito di valori, compreso, ad esempio, fra $a$ e $b$. Una tale probabilità, $P(a,b)$, si esprime come un integrale

\begin{displaymath}
P(a,b)=\int_a^b\phi(x)\,dx
\end{displaymath} (1.1)

e la funzione $\phi(x)$, che definisce la distribuzione, è chiamata densità di probabilità e può essere considerata come la derivata della probabilità. La densità di probabilità $\phi(x)$ è dunque pari alla probabilità che il risultato cada in un intervallo infinitesimamente piccolo attorno al valore $x$ divisa per l'ampiezza di questo intervallo. Normalmente, come abbiamo fatto nell'esempio del dado, la probabilità è normalizzata all'unità, vale a dire che la probabilità di ottenere un qualsiasi risultato non specificato (cioè la somma di tutte le probabilità) è pari ad uno (certezza). Nel caso continuo, questo si esprime nel modo seguente:
\begin{displaymath}
\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\,dx=1
\end{displaymath} (1.2)

Figura 1.2: Due esempi di densità di probabilità gaussiana. La curva più allargata ha ampiezza doppia, ma l'area sotto le curve è pari ad 1 in entrambi i casi, in accordo con l'Eq. (1.2).
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=gauss.ps,width=0.8\textwidth,angle=-90}\end{center}\end{figure}

In meccanica quantistica, perfino la posizione di una particella, in un dato istante, non è una sua proprietà precisa a priori, ma è invece descritta da una distribuzione di probabilità continua. Quando osserviamo una particella, servendoci di opportuni strumenti, la localizziamo in un punto preciso (o meglio: in un più o meno piccolo volume). Tuttavia, nelle stesse identiche condizioni, avremmo potuto osservarla anche in un punto diverso ed in generale distante dal primo. A ciascun elemento di volume dello spazio corrisponde una certa probabilità di osservarvi effettivamente la particella in seguito ad una misura.1.2 A priori, è un po' come se la particella fosse non più puntiforme, ma invece ``spalmata'' dappertutto (si dice delocalizzata), con maggiore o minore densità. Bisogna tuttavia tenere presente che questa visualizzazione della situazione, per quanto utile a volte, non è rigorosa poiché non rende conto del fatto che, in seguito ad una misura, la particella (o il sistema nel suo complesso) viene effettivamente osservata interamente in un punto (o volume arbitrariamente piccolo) e quindi viene di colpo ad assumere una posizione precisa e, compatibilmente con le sue dimensioni e la precisione della misura, puntiforme. Ma su questo torneremo in seguito.

In contrasto con la posizione, risulta che le distribuzioni di probabilità per le proprietà fisiche di un sistema reale sono distribuzioni discrete. Questo significa che (proprio come nel lancio dei dadi non è possibile osservare un risultato frazionario, ad es.: 3.71, ma solo un numero intero) il valore di una grandezza fisica misurata in determinate condizioni non può essere qualsiasi, bensì solo uno di un insieme numerabile. Ciascun valore possibile è caratterizzato da una sua propria probabilità. È importante osservare che questa discretizzazione delle distribuzioni di probabilità (detta quantizzazione) si verifica in seguito all'azione di forze sul sistema. Nel caso ideale di un sistema completamente libero, le distribuzioni di probabilità possono essere continue. La quantizzazione è uno dei risultati più sorprendenti della meccanica quantistica. In fisica classica il valore di una grandezza varia, in linea di principio, con continuità e può essere qualsiasi. Per un sistema quantistico, solo alcuni valori, separati l'uno dall'altro da un intervallo di entità variabile, sono in generale permessi in date condizioni. In questo caso, il passaggio al limite classico può essere pensato come il tendere a zero della separazione fra i valori permessi. Si trova che questa separazione varia inversamente con la massa del sistema e diviene appunto inapprezzabile per sistemi macroscopici.

Come dicevamo, i valori di una distribuzione hanno in generale probabilità diverse: alcuni sono più probabili di altri. Portando questa osservazione al suo estremo, possiamo facilmente rappresentare il caso classico come il limite in cui una distribuzione è composta di un unico valore possibile, con probabilità unitaria. Nel caso di una distribuzione continua, il limite classico si ottiene restringendo sempre di più l'intervallo dei valori possibili, fino ad ottenere una speciale distribuzione la cui densità di probabilità è esattamente zero ovunque tranne in un punto. Affinché la densità di probabilità continui ad essere normalizzata secondo la (1.2), dobbiamo ammettere che in quel punto il suo valore tenda ad infinito. Questa speciale distribuzione limite si chiama distribuzione delta. È facile comprendere che una grandezza fisica tanto più caratterizza un sistema quanto più la sua distribuzione è ``stretta'', vale a dire quanto più l'intervallo dei valori probabili è limitato. All'estremo opposto del caso classico, abbiamo una distribuzione (discreta o continua) di valori tutti equiprobabili. È chiaro la grandezza che presenta una tale distribuzione è massimamente indefinita e non può servire efficacemente a descrivere le proprietà del sistema.

Ricapitolando, assumiamo che, sotto determinate condizioni fisiche, cioè forze agenti, lo stato di un sistema quantistico è descritto da funzioni di distribuzione che descrivono le probabilità con cui i valori delle grandezze fisiche possono venir misurati. In generale, più di uno stato è compatibile con le date condizioni e ciascuno di essi è caratterizzato da proprie funzioni di distribuzione.


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Francesco Tarantelli 2004-04-28